自然常数e到底有多少秘密？欧拉、高斯等也没研究透彻

历时五百年，自然常数e已经在数论、代数、分析等数学领域发挥了巨大作用，它的归宿在哪里？又将走向何方？

1792年，15岁的高斯在他对数表的最后一页，给出了关于质数分布的一个猜想：

Primzahlen unter a(=∞)a/lna

用现在的符号表示为：π(x)~x/lnx. (当x→∞时，不大于x的质数的个数为 x/lnx)

此猜想经黎曼等数学家的补充与证明，最终变成对数论发展影响深远的"质数定理"。定理中的两个重要概念——质数与自然常数e，一个属于数论范畴，另一个（lnx中的底数是自然常数e）则隶属于分析学。"质数定理"将两个看似毫无关联的数学分支——"数论与分析"紧密联系在了一起。

图一高斯

一、自然常数e的来源

数学中很多重要的常数，如圆周率π、根号2等，但从定义上理解，自然常数e可能是最为耀眼的一个，因为它是第一个使用极限来定义的常数：

图二

自然常数e是如何被人们的发现的呢？一般认为与16世纪计算复利密切相关：

图三

小王急用1万元钱，找人借高利贷，贷款年利息是100%，并可自由选择结算利息的次数。小王该选择多久结一次利息更划算呢？先来看看不同结算次数对还款的影响.

◎ 一年（12个月）计息一次，1年后还款 1+1=2 （万元）

◎ 半年（6个月）计息一次，1年后还款 (1+1/2)^2 =2.25（万元）

◎ 一季度（3个月）计息一次，1年后还款(1+1/4)^4 ≈2.44（万元）

◎ 一个月计息一次，1年后还款(1+1/12)^12 ≈2.61（万元）

这样的计息方式还可以无限的继续下去，我们发现利息结算次数越多，年底还款也就越多，小王当然选择一年结算一次比较划算。

图四

现在继续往下思考，对于这样的贷款方式，如果结算次数无限多，年底还款会不会是个无底洞呢？我们再来看看下面的数据：

图五

越往后计算，其结果越接近于2.718281828…，即

图六

这是一个不可思议的结果，我们现在通常用字母e来表示这个数，并称之为自然常数。可惜的是我们不知道谁第一个发现了这个极限值，现在知晓的比较早些的线索是出现在纳皮尔的《奇妙的对数表的描述》（1618年）一书中。

图七

在"可与'微积分'媲美的发现，让伽利略、欧拉等数学大神都赞不绝口"一文中，说到纳皮尔的对数表中计算了

图八

的值，结果近似等于1/e。这是巧合还是有意为之，我们很难判断，但纳皮尔的这一记录的确引起了数学家们的注意，尤其是伯努利家族。

二、自然常数e变得重要起来

伯努利家族以"盛产"物理学家、数学家而闻名，约翰·伯努利和雅克比·伯努利两兄弟都是伯努利家族中最著名的一员。雅克比·伯努利第一次把e看成常数，并试图计算。

图九

莱布尼茨在1690-1691之间给惠更斯的通信中第一次用到这个常数，并用b表示。

1691年6月，《教师学报》同时发表了三位数学家（惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利），关于"悬链线"问题的解答，这样一个表达式用到了自然常数e。

图十

同时，17世纪的一个关于对数的重要发现更是使得自然对数e走到了数学的前沿。

1647年，比利时数学家圣·文森特(Gregoire de Saint-Vincent)利用费马的方法，在对直角双曲线y=1/x求积时，发现"当长方形的长宽形成几何级数时，这些长方形的面积相等"。

图十一

文森特的这个结论换一种说法为：

曲线y=1/x下的矩形面积，在区间[a,b]和[c,d]上，分别为m,n.

若a/b=c/d ,则m=n.

根据这个结论，如下图，设y=1/x下矩形在区间(1, a)，(a,b)，(b,ab)上的面积分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ. 由于 a/1=ab/b ，则Ⅰ=Ⅲ。当a→b时，y=1/x的图像与x轴在(1, a)与(b,ab)上围成的曲边梯形的面积也相等。记为Ⅰ*=Ⅲ*。因此y=1/x的图像与x轴在(1, a)及(1,b)上围成的曲边梯形的面积等于在(1,ab)上围成的曲边梯形的面积，其值均为：2Ⅰ*+Ⅱ* 。

图十二

这个结论告诉我们：y=1/x下面积公式满足：

A(ab)=A(a)+A(b)

也就是面积公式可以用对数表示。

牛顿在广义二项式定理的基础上，也间接的得到了y=1/(1+x)曲线下面积可用对数来表示的结论。

广义二项式定理是牛顿计算函数微积分的重要工具，他对于很多函数的求导、求积都源于函数的无穷级数展开。

图十三

照费马公式，

图十四

对以上各项求积分得到y=1/(1+x)曲线下面积公式：

图十五

根据分析知识，牛顿已经得到了用对数来表示的级数展开：

图十六

17世纪的文森特与牛顿，一个用费马的求积法、一个用二项式定理，都分别将y=1/(1+x)曲线下面积公式用对数来表示，而这个对数的底数是什么呢？根据ln(x+1)这个式子相信你已经想到了，这个底数是e。下面是简单的推导：

18世纪（欧拉时代之前），指数函数只被当作对数函数的反函数，因此，对于函数

图十七

自然对数e在直角双曲线y=1/x求积上的应用让18世纪的数学家们倍感欣慰，

图十八

, 两个式子更是初步确立了自然对数e在分析学中的重要地位。

三、自然常数e核心地位的确立

到了1748年，欧拉的数学巨著《无穷小分析引论》出版，这本书是现代数学分析的基础，它第一次使用符号f(x)来表示函数，并将函数概念进一步推广。但这本书还有一个亮点——第一次将自然常数e，函数y=e^x摆放到数学分析的核心位置。

图十九欧拉

定义：

以及推导出了e^x的级数展开式：

图二十一

如果欧拉的研究到此为止，那数学星空只是意外添加了几颗亮光微弱的小星。但大师欧拉的洞察力和勇气超乎我们的想象，他做了一个大胆、出格的决定：将展开式中的x换成ix(这里的i为虚数单位)得到：

图二十二

紧接着，将式子中的虚部与实部分开

图二十三

(*)式用一种简约而不简单的方式，将三角学、代数学、以及分析学三个数学分支紧密的联系了起来，不但如此，欧拉令这里的x=π，得到了另一个"最美公式"：

图二十四欧拉公式

这里借用一首诗来欣赏这个公式之美

《春怨》

心中既有i，何故不表白；

梦里合如 1，醒时各伤怀；

春去春又来，e人空等待；

闲时花凋零，不是浪漫π。

一个表达式将代数中的"i"，算术中的"1"，分析中的"e"，以及圆周率π，这几个重要的数学常数联系到了一起，没有比这更神奇的事情了。

欧拉一生对分析学有着巨大的贡献，他与生俱来的洞察力与魄力让他在分析研究上运用自如，但他的这样的性格同时也带来了一些"麻烦"，就是欧拉所得到的这些结论背后的严谨性，欧拉并没有真正一一的仔细去推敲。但这并不影响他数学大师的身份，或者说，相反的他将这些的结论的严谨性留给了后世的数学家（如拉格朗日、柯西等），让年轻一代有更多的思考和成长空间。

图二十五

在欧拉工作的鼓励下，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯将自然常数e巧妙的渗入复函数中，使得复变函数得以在19世纪与抽象代数、非欧几何并列为三大成就。

四、自然常数e到底是什么样的数？

以17世纪自然常数e被重新认识开始，18、19世纪的数学家们迅速认识到e的不可缺少性，再通过e在各个领域的出色表现，数学家们对e的本身性质也产生了好奇。第一个问题无疑是：自然常数e是有理数还是无理数？

这不是一个简单的问题，但对于大师欧拉却并非难事。1737年，青年欧拉就已经证明了自然常数e以及它的平方e^2均为无理数。欧拉的证明方法不是很容易理解，但相信下面的这个初等证明你会阅读得很愉快。

自然常数e为无理数的证明：

图二十六

自然常数e的无理性被证明以后，数学家们继续前进，并得到了下一个惊人的结论：自然常数e是超越数。所谓超越数，是与代数数相对应的数，即超越数不是任何一个整数系多项式的解。18世纪的朗伯特（1768年他证明了π是无理数）曾猜测自然常数e是超越数，但并未给出证明，这一结论的证明最后在1873年由法国数学家埃尔米特给出，证明长达30多页。